Exercício E30 - Correção

Costumamos, nós alunos, cometer alguns erros até perdoáveis. Mas é aconselhável evitá-los sempre - afinal, matemática é exata e lógica e essas características nunca cederam espaço a erros.
No exercício de limite que publiquei antes deste post, esqueci-me de utilizar parênteses ao expressar uma soma, sendo que o limite aplicava-se à soma. Sem os parênteses, formalmente o limite extende-se somente ao primeiro termo e não ao segundo. Portanto segue a correção:

Exercício E30 - Solução

Segue a solução do limite:

Exercício E30 da Apostila de Cálculo

O exercício 30 da série E é na minha opinião o mais difícil e intrincado exercício de limite da apostila. Eu levei uns dois dias pensando sobre como resolvê-lo, após algumas tentativas sem sucesso. Finalmente cheguei na solução - o esforço foi grande.
O problema dele está - como quase todos os exercícios de limites - em achar uma artimanha algébrica para sair da indefinição de infinito menos infinito. O enunciado parece bem simples:

Mas a resolução é um tanto "chata". O resultado é 1/2. No próximo post seguirá a solução.

Derivada - demonstração

Para chegar à famosa regra de derivação (a mais usada), temos que desenvolver o termo (x + h) elevado à n, por isso vamos usar o Binômio de Newton. Afinal, n é qualquer número natural. Para isso basta aplicar a definição de derivada por limites, desenvolver a expressão e chegar ao resultado esperado:

Pronto, está provado!
Agora é importante lembrar que esta demonstração é válida APENAS para n Natural. Embora a regra seja válida para um n Real, a demonstração será outra, a ser feita em outra oportunidade.

Binômio de Newton

Binômio de Newton

Olá. Na apostila de Cálculo I há a série G de exercícios. O exercício "m" é um exercício diferenciado, porque ele é uma demonstração. A proposta é calcular a derivada da seguinte função:

Para resolver este exercício temos que usar a definição de derivada por limite, mas ao fazer esta aplicação iremos precisar de um teorema específico: o Binômio de Newton.