Derivada - demonstração

Para chegar à famosa regra de derivação (a mais usada), temos que desenvolver o termo (x + h) elevado à n, por isso vamos usar o Binômio de Newton. Afinal, n é qualquer número natural. Para isso basta aplicar a definição de derivada por limites, desenvolver a expressão e chegar ao resultado esperado:

Pronto, está provado!
Agora é importante lembrar que esta demonstração é válida APENAS para n Natural. Embora a regra seja válida para um n Real, a demonstração será outra, a ser feita em outra oportunidade.